[일반물리학] #1-(2). 물리에서 가장 중요한 것은 단위 (예제)

안녕하세요. ing' story의 현재진행형입니다.

 

이번 시간에는 지난 시간에 포스팅 하였던 단위와 물리량에 대한 간단한 예제를 풀어보려고 합니다. 이론만 보다보면 실제로는 어떻게 적용하는지 잘 와닿지 않는 경우가 많거든요. 지난 글을 읽고 잘 이해가 되지 않으셨던 분들은 이번 예제를 통해서 단위와 물리량의 중요성을 이해하는 데에 도움이 되실 것이라 생각합니다.

 

지난 글을 읽지 않으신 분들은 아래의 글을 참고해주세요.

 

[일반물리학] #0. Intro : 일반물리학에 대한 포스팅을 들어가며

[일반물리학] #1-(1). 물리에서 가장 중요한 것은 단위

 

 

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예제 [1]

 

[문제] 다음의 \(\rm{A}\), \(\rm{B}\), \(\rm{C}\) 세 물체가 각각의 거리를 이동하는데 걸린 시간은 다음과 같다. 세 물체의 속력을 비교하여라.

 

\(\rm{A} : 2\rm{ms}\) 동안 \(0.1\rm{cm}\) 이동

\(\rm{B} : 250\rm{ns}\) 동안 \(0.1 \rm{\mu m}\) 이동

\(\rm{C} : 50\rm{\mu s}\) 동안 \(0.03\rm{mm}\) 이동

 

 

 

 

[풀이]

위의 문제를 보면 \(\rm{A}\), \(\rm{B}\), \(\rm{C}\) 세 물체의 속력이 모두 통일이 되어 있지 않습니다. 이런 상황에서는 단순히 비교를 하기가 힘들기 때문에 단위를 통일시켜주어야 합니다. 그렇다면 단위를 어떻게 통일시켜야 할까요?

 

혹시 지난 포스팅에서 '단위'에 대해서 설명드린 내용을 기억하시나요? 못 보신 분들은 아래 링크를 참고해주세요.

 

[일반물리학] #1-(1). 물리에서 가장 중요한 것은 단위

[일반물리학] #1-(1). 물리에서 가장 중요한 것은 단위

 

물리에서 문제를 처음 접할 때, 문제를 푸는 과정에서 단위는 1) SI 단위를 기준으로 과학적 표기법으로 계산한 후, 2) 모든 계산이 끝나면 공학적 표기법으로 바꿔주면 된다고 했습니다. 이러한 원리를 예제에 적용시켜 보겠습니다.

 

먼저 세 물체의 속력을 SI 단위로 바꿔보도록 하겠습니다.

 

$$ {\rm{A}} : v_{A} = \frac{0.1 {[\rm{cm}}]}{2{[\rm{ms}}]}= \frac{0.1 \times 10^{-2}{[\rm{m}]}}{2 \times 10^{-3}{[\rm{s}]}}= \frac{1 \times 10^{-3}{[\rm{m}]}}{2 \times 10^{-3}{[\rm{s}]}} = 0.5 {[\rm{m/s}]}$$

 

$$ {\rm{B}} : v_{B} = \frac{0.1 {[\rm{\mu m}}]}{250 {[\rm{ns}}]} = \frac{0.1 \times 10^{-6}{[\rm{m}]}}{250 \times 10^{-9}{[\rm{s}]}} = \frac{1 \times 10^{-7}{[\rm{m}]}}{2.5 \times 10^{-7}{[\rm{s}]}} = 0.4 {[\rm{m/s}]} $$

 

$$ {\rm{C}} : v_{C} = \frac{0.03 {[\rm{mm}}]}{50 {[\rm{\mu s}}]} = \frac{0.03 \times 10^{-3}{[\rm{m}]}}{50 \times 10^{-6}{[\rm{s}]}} = \frac{3 \times 10^{-5}{[\rm{m}]}}{5 \times 10^{-5}{[\rm{s}]}} = 0.6 {[\rm{m/s}]} $$

 

각 물체의 속도 변환 과정에서 각 단위에 대해 SI 단위를 기준으로 \( 10 \)의 거듭제곱 꼴로 바꾸면 변환을 쉽게 할 수 있는 것을 알 수 있습니다. ( (1). 과학적 표기법으로 변환하는 것에 해당)

 

위의 문제에서는 단위가 깔끔하게 떨어지기 때문에 \( \rm{m/s}\)에서 추가적인 변환이 필요가 없는데요. 만약 \( 10^{-3}\), \( 10^{-6}\), 혹은 \( 10^{-9}\) 단위로 계산이 된다면 각각 \( \rm{m}\), \( \rm{\mu}\), \( \rm{n}\) 단위를 붙여 바꾸어주면 됩니다. ( (2). 공학적 표기법으로 변환하는 것에 해당)

 

이렇게 단위를 통일하고 나니 비교하기가 매우 쉬워졌습니다.

속도를 비교하면, \( v_{C} > v_{A} > v_{B} \) 가 됩니다.

 

 

 

예제 [2]

 

[문제] 고체 납덩어리의 질량이 \( 47.88 \rm{g} \) , 부피가 \( 4.2 \rm{cm}^{3}\) 라고 한다. 납의 밀도를 SI 단위로 구하여라. 

 

 

 

 

 

[풀이]

이 문제도 단위 변환에 대한 이해만 있으면 굉장히 쉬운 문제입니다.

 

밀도의 정의는 단위 부피당 질량을 의미하는데요. 즉, \( \cfrac{질량}{부피}\) 로 계산이 됩니다.

 

$$ \rho = \frac{m}{V} = \frac{47.88 [\rm{g}]}{4.2 [\rm{cm^{3}}]} = \frac{47.88 \times 10^{-3} [\rm{kg}]}{4.2 \times 10^{-6}[\rm{m^{3}}]} = 11.4 \times 10^{3} [\rm{kg/m^{3}}]$$

 

이 문제에서도 마찬가지로 먼저 \( 10\) 의 거듭제곱 꼴로 먼저 변환한 후 계산하면 단위 혼동 없이 쉽게 계산할 수 있습니다.

 

 

 

예제 [3]

 

[문제] 만유인력은 \( {F = G\cfrac{Mm}{r^{2}}}\) 와 같이 표현된다. \(M\)과 \(m\)은 물체의 질량, \(r\)은 거리라고 할 때, 상수 \(G\)의 SI 단위를 구하여라. 단, 힘 \(F\)의 단위는 \(\rm{kg \cdot m/s^{2}}\) 이다.

 

 

 

 

[풀이]

이 문제는 처음 보면 헷갈릴 수도 있는데, 앞선 예제 (1), (2)와 같은 방법으로 단위를 숫자처럼 계산해준다고 생각하시면 됩니다. 문제에서 힘의 단위가 주어졌으므로 좌변과 우변을 비교해보겠습니다.

 

$$ [\rm{kg \cdot m/s^{2}}] = G \cfrac{[\rm{kg \cdot kg}]}{[\rm{m^{2}}]} $$

 

 

우변이 위와 같이 계산되는 이유는 \(M\)과 \(m\)은 모두 물체의 질량이고, \(r\)은 거리이기 때문입니다. 이를 정리하면,

 

$$ \rm{G} = [\rm{m^{3} \cdot s^{-2} \cdot kg^{-1}}] $$

 

여기서 추가로 정리를 더 하자면,

 

$$ \rm{G} = [\rm{m^{3} \cdot s^{-2} \cdot kg^{-1}}] = [\rm{N \cdot m^{2} \cdot kg^{-2}}]$$

 

로 표현이 됩니다. 실제로는 위 식에서 오른쪽 표현으로 쓰이지만 두 단위는 완전히 동일합니다.

 

 

3번 같은 문제는 어떤 상수에 대한 SI 단위를 계산하는 방법입니다. 우리가 속력을 \(\rm{m/s}\) 라고 하는 이유는 가장 기본 단위인 SI 단위 중 길이와 시간으로 나눈 것이 속력이고, 이를 단위로 표현하면 \(\rm{m/s}\) 가 되기 때문입니다.

 

이런 물리량의 단위를 가볍게 생각하고 넘어가실 수도 있는데, 시험이나 결정적인 순간에 필요한 경우가 가끔 있을거예요. 그럴 때에는 물리량에 대한 단위를 모두 외운다기보다는 가장 기본이 되는 SI 단위로부터 역으로 계산하면 충분히 구할 수 있으니 알아두시면 좋을 것 같습니다.

 

 

이번 글을 통해 물리에 대한 문제를 접근할 때, 과학적 표기법으로 계산한 후, 공학적 표기법으로 표현하는 방법을 익히는데 도움이 되었길 바랍니다.

 

다음 글부터는 본격적으로 역학에 대한 내용부터 시작하겠습니다.