[전자 회로 실험] #2-(1). RLC 회로 설계하기 (RLC 필터)

본 실험에서는 직렬 RLC 회로를 설계해보고 RLC 회로에서 Overdamping과 Underdamping이 되는 조건을 알아보겠습니다.

또한, 직렬 RLC 회로의 전달함수를 구하고 전달함수의 주파수에 따른 위상과 크기 특성도 같이 알아보겠습니다.

RLC 실험을 들어가기에 앞서 관련 개념부터 살펴보겠습니다.

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실험이론

■ Inductor 

Inductor는 저항과 Capacitor와 더불어 회로 이론을 구성하는 3대 소자 중 하나 입니다. 

Inductor는 전류의 자기 작용을 하게 만드는 소자로, Inductor에 흐르는 전류의 양이 변할 때, 전류의 변화량에 비례하는 전압을 유도합니다.

이러한 특징을 이용하여 전동기의 모터와 같은 곳에 이용되며, 전압의 급격한 변화를 막는 역할을 합니다.

Inductor의 특징을 나타내는 식이 바로

$$ V = L\frac{di}{dt} $$

입니다.

위 식을 보면, Inductor에 유도되는 전압은 전류의 변화량에 비례한다는 사실을 알 수 있습니다.

■ RLC Circuit

사진과 같이 저항, Inductor, Capacitor로 이루어진 회로를 RLC 회로라고 합니다.

위의 회로에 각 소자에 걸리는 전압과 흐르는 전류는 미분방정식을 이용하여 구할 수 있습니다.

위 회로에 흐르는 전류를 구하기 위해 KVL을 이용하여 미분방정식을 세우면

$$ -V_{s} + L\frac{di}{dt} + iR + \frac{1}{C}\int idt = 0 $$

해당 미분방정식을 다시 시간에 대해 미분하면,

$$ L\frac{d^2i}{dt^2} + R\frac{di}{dt} + \frac{1}{C}i = 0 $$

로 전류에 대한 이계 미분방정식으로 나타낼 수 있습니다.

미분방정식을 특성방정식의 꼴로 고치면

$$ s^2 + 2\alpha s + {w_o}^2 = 0 $$

$$ \alpha = \frac{R}{2L} \quad w_o = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$

여기서 \( \alpha \)는 감쇠 지수, \( w_o \)는 고유 진동수를 나타냅니다.

이때, \( \alpha \)와 \( w_o \)에 따라 해가 달라지게 됩니다.

① \( \alpha^2 \) > \( {w_o}^2 \) 일 때 (특성 방정식이 실근을 가질 때)

$$ i(t) = A_1 e^{s_1t} + A_2 e^{s_2t} $$

의 꼴로 나타나며 이를 Overdamped 라고 합니다.

② \( \alpha^2 \) = \( {w_o}^2 \) 일 때 (특성 방정식이 중근을 가질 때)

$$ i(t) = A_1 e^{st} + A_2 te^{st} $$

의 꼴로 나타나며 이를 Critically damped 라고 합니다.

③ \( \alpha^2 \) = \( {w_o}^2 \) 일 때 (특성 방정식이 허근을 가질 때)

$$ i(t) = A_1e^{-\alpha t} cos(wt) + A_2 e^{-\alpha t} sin(wt) $$

의 꼴로 나타나며 이를 Underdamped 라고 합니다.

만약 Step Input을 인가한다면, 앞에서 미분방정식의 해에 따라 전압의 그래프의 개형은 위와 같이 나타나게 됩니다.

■ RLC Circuit에서의 공명

RLC 회로는 인가되는 신호의 주파수에 따라 출력 신호가 바뀌게 됩니다. 

RLC 회로에서 전류가 가장 강하게 흐를 수 있도록 하는 진동수를 고유 진동수라고 하며, 이때 공명이 발생한다고 합니다.

고유 진동수는 RLC 회로에서 임피던스의 허수 부분이 0이 되고 실수 부분만 남게 되는 진동수를 계산하면 구할 수 있습니다.

앞의 RLC 회로에서의 임피던스 \( Z \) 는

$$ Z = R + jwL + \frac{1}{jwC} = R + j(wL - \frac{1}{wC}) $$

$$ wL = \frac{1}{wC} $$

$$ \therefore  w_o = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$

■ RLC Circuit에서의 주파수에 대한 위상과 크기 특성

지난 포스팅에서 회로의 전달함수를 구하는 방법과 같은 방법으로 전달함수를 구할 수 있습니다.

전달함수를 구하게 되면

$$ H(jw) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{1}{jwRC - w^2LC + 1} $$

위의 식을 통해 크기 값과 위상을 구해주면 주파수 특성과 위상을 구할 수 있습니다.

■ Q Factor (Quality Factor)

Q Factor를 정의하는 방법은 몇 가지가 있지만 이번 실험과 관련이 깊은 대역폭을 이용해서 정의해보도록 하겠습니다.

Q Factor는

$$ Q = \frac{f_o}{f_H - f_L} = \frac{f_o}{f_{-3dB}} $$

로 정의할 수 있습니다.

위의 그래프를 보면서 식을 해석하면, 출력이 최대가 되는 공진 주파수를 -3dB가 되는 주파수의 대역폭으로 나누어 준 것을 의미합니다.

즉, Q 값이 작으면 -3dB의 대역폭이 넓다는 의미이고 Q 값이 크다면 -3dB의 대역폭이 좁다는 의미입니다.

대역폭이 넓다는 것은 넓은 범위의 주파수를 선택한다는 의미이고, 대역폭이 좁다는 것은 좁은 범위의 주파수를 선택하는 것을 의미합니다.

그렇다면 대역폭이 넓은 것이 좋은 것일까요, 아니면 대역폭이 좁은 것이 좋은 것일까요?

일반적으로는 대역폭이 좁은, Q의 값이 큰 회로가 좋은 회로입니다.

예를 들어 라디오를 듣고 싶어서 특정 주파수를 맞추고자 하는 상황을 상상해보면 이해가 쉽습니다.

요즘은 라디오 방송을 잘 안듣지만 한 번쯤은 ' FM 99.9 MHz XXX 입니다~ ' 라고 하는 방송을 들어보셨으리라 생각합니다.

이때 말하는 저 주파수는 우리가 라디오를 조절해서 선택해주어야 하는 주파수입니다.

만약 대역폭이 넓어서 넓은 범위의 신호가 들어온다면 방송에 교란이 생겨 원하는 신호를 수신하지 못할 것입니다.

따라서, 원하는 신호만을 수신하기 위해서는 대역폭이 좁아야하며 Q 값이 커야 합니다.

직렬 RLC 회로에서의 Q 값은 미분방정식을 계산하여 L과 C의 값으로 나타낼 수 있습니다.

이를 계산한 결과는

$$ Q = \frac{w_oL}{R} = \frac{1}{w_oRC} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} $$

로 나타낼 수 있습니다.

참고로 병렬 RLC 회로에서의 Q 값은

$$ Q =  R \sqrt{\frac{C}{L}} $$

로 나타낼 수 있습니다.

다음 포스팅에서는 배경지식을 토대로 RLC 회로를 PSpice를 이용하여 설계하고 Simulation 해보도록 하겠습니다.