[전자 회로 실험] #2-(2). RLC 회로 설계하기 (RLC 필터)

RLC 회로 설계에 대한 배경 지식은 이전의 포스팅을 참고해주시기 바랍니다.

[회로 설계/전자 회로 설계] - [전자 회로 실험] #2-(1). RLC 회로 설계하기 (RLC 필터)

사전 실험

앞서 설명한 실험에 대한 배경 지식을 가지고 PSpice를 이용하여 이번 실험의 결과값을 예측해보도록 하겠습니다.

[1-1] 위와 같은 RLC 회로에 대해서 사각파 입력 \( V_{in} \)이 인가되었을 때, Underdamping이 되는 회로의 조건과 출력 신호의 파형을 구하시오.

앞선 배경지식에서 알아보았듯이 RLC 회로에 대한 미분 방정식을 풀면 3가지 경우가 나옵니다.

이때 감쇠계수 \( \alpha \) 가 공진 주파수보다 작을 경우에 Underdamped 가 됩니다.

즉,

$$ \frac{R}{2} \sqrt{\frac{C}{L}} < 1 $$

을 만족하여야 합니다.

이를 만족하도록 소자의 값을 R = 5k[Ohm], L = 100mH, C = 1nF 으로 설정하여 Simulation 해준 결과는 다음과 같습니다.

[1-2] 위와 같은 RLC 회로에 대해서 사각파 입력 \( V_{in} \)이 인가되었을 때, Overdamping이 되는 회로의 조건과 출력 신호의 파형을 구하시오.

[1-1]의 문항과 유사하게 RLC 값만 조정을 하여서 감쇠계수가 공진 주파수보다 값이 커지도록 설정을 하면 됩니다.

즉,

$$ \frac{R}{2} \sqrt{\frac{C}{L}} > 1 $$

의 조건을 만족시키면 됩니다.

위의 조건에 맞게 R = 30k[Ohm], L = 100mH, C = 1nF 으로 설정을 하여 Simulation 해준 결과는 다음과 같습니다.

[2-1] 위와 같은 RLC 회로에 대해서 전달함수 H(s)를 구하시오.

전달함수란 입력함수와 출력함수 간의 관계를 나타낸 것으로 입력과 출력의 비를 구하면 됩니다.

전압 분배 법칙을 이용하여 구하면,

$$ H(s) = \frac{\frac{1}{sC}}{R + sL + \frac{1}{sC}} $$

[2-2] H(s)에서 resonant frequency \( w_o \) 식을 구하시오.

주어진 회로에서 공진이 일어나기 위한 조건은 임피던스가 실수 성분만이 존재하게 되는 주파수가 인가되었을 경우입니다.

이를 계산하면 배경지식에서와 같이

$$ w_o = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$

[2-3] H(s)에서 Quality factor Q 식을 구하시오.

앞선 배경지식에서 알아보았듯이 Q 값은 얼마만큼의 좁은 대역폭을 선택할 수 있느냐를 나타내는 지표로

$$ Q = \frac{w_oL}{R} = \frac{1}{w_oRC} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} $$

와 같은 식으로 나타낼 수 있습니다.

[2-4] 전달함수 H(s)에서 주파수 크기 및 위상 특성을 구하는 방법에 대해 고려하시오.

앞선 [2-1] 에서 구한 전달함수를 간단히 하면,

$$ H(jw) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{1}{jwRC - w^2 LC + 1} $$

이에 대해 크기를 구하면,

$$ \left| H(s) \right| = \frac{1}{ \sqrt{(wRC)^2 + (1 - w^2LC)^2} } $$

위상을 구하면,

$$ \theta = -tan^{-1}( \frac{wRC}{1 - w^2LC} ) $$

로 나타낼 수 있습니다.

[2-5] Q = 0.1일 때, H(s)의 주파수 크기 및 위상 특성을 그리시오.

Q = 0.1의 값을 만들기 위해 C = 1nF, R = 10k[Ohm], L = 1mH 의 소자를 사용하였습니다.

이때의 회로는 Overdamped에 해당합니다.

주파수에 대한 크기 특성

주파수에 대한 위상 특성

위의 그래프는 주파수에 대한 크기와 위상 특성을 나타낸 것입니다.

그래프를 통해 주파수가 증가함에 따라 Capacitor에 걸리는 전압이 감소하고 위상차가 커지는 것을 확인할 수 있다.

[2-5] Q = 5일 때, H(s)의 주파수 크기 및 위상 특성을 그리시오.

Q = 5의 값을 가지기 위해 C = 1nF, R = 200k[Ohm], L = 1mH의 소자를 선택하였습니다.

이때의 회로는 Underdamped에 해당합니다.

주파수에 대한 크기 특성

주파수에 대한 위상 특성

위의 그래프는 주파수에 대한 크기와 위상 특성을 나타낸 그래프입니다.

Q = 0.1일 때의 그래프와 비교해보면 차이점을 확인해 볼 수 있습니다.

Q = 5 일 때에는 Underdamped에 해당하기 때문에 회로에 신호가 크게 진동하는 부분이 존재합니다. 

주파수에 대한 크기 특성의 그래프를 살펴보면 주파수가 증가함에 따라 크기가 크게 증가하였다가 감소하는 것을 관찰할 수 있습니다.

이번 실험은 회로를 설계한 후에 주파수를 증가시키면서 크기와 위상 특성이 어떻게 변하는지 관찰하는 것이 실험의 목적입니다.