[전자 회로 실험] #1-(3). RC 회로 설계하기 (RC 필터) 실험 결과

지난 시간에 진행하였던 RC 회로 실험의 결과에 대한 포스팅을 마무리 짓지 못해서 이번 시간에 마무리 지어보도록 하겠습니다.

지난 포스팅에서는 RC 회로를 설계하기 위한 이론적인 지식과 RC 회로의 차단 주파수를 설정하여 직접 측정해보는 실험을 하였습니다.

이번 시간에는 RC 회로에서 주파수에 대한 크기 응답과 주파수에 대한 위상 응답을 측정해보겠습니다.

이번에 다룰 주제가 RC 회로 실험에서 가장 핵심적인 부분이니 실험을 하면서 주의 깊게 살펴보시길 바랍니다.

RC 회로 실험의 이론적인 지식과 차단 주파수 설계와 관련된 포스팅을 보지 못하신 분들은 아래 링크를 참조하시면 됩니다!

[RC 회로의 이론 배경]

[회로 설계/전자 회로 설계] - [전자 회로 실험] #1-(1). RC 회로 설계하기 (RC 필터) 예비 실험

[RC 회로의 차단 주파수 구현]

[회로 설계/전자 회로 설계] - [전자 회로 실험] #1-(2). RC 회로 설계하기 (RC 필터) 실험 결과

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실험 결과

[2-1] 함수 발생기와 Oscilloscope를 사용하여 주파수 크기 및 위상 특성을 얻을 수 있는 방법에 대하여 기술하시오.

크기 특성은

$$ 크기 특성 = \frac{출력\;신호\;진폭}{입력\;신호\;진폭} $$

로 나타낼 수 있고,

위상 특성은 입력 신호와 출력 신호의 위상 차이(또는 지연 시간 차이)를 측정하면 됩니다.

오실로스코프를 이용하여 출력 신호와 입력 신호간의 진폭을 측정하는 것은 어렵지 않습니다.

그러나 오실로스코프의 가로축은 시간축을 기준으로 하기 때문에 한 눈에 위상차이를 파악하기는 쉽지 않습니다.

따라서, 커서를 이용하여 시간차를 측정 한 후에 이를 위상차로 바꾸어주어야 합니다.

그렇다면 오실로스코프를 이용하여 크기 특성과 위상 특성은 어떻게 측정해야 할까요?

먼저 오실로스코프를 이용하여 크기 특성을 측정하는 방법입니다.

크기 특성은 출력 신호의 진폭과 입력 신호의 진폭의 비로 나타난다고 하였습니다.

이는 커서를 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다.

위의 예시 사진으로부터 \( V_{pp} = 1\rm{[V]} \)를 인가하였을 때, 출력 신호의 \(V_{pp} \)가 \( V_{pp}=0.7\rm{[V]} \)로 관찰되는 것을 확인할 수 있습니다.

즉, 위의 예시의 크기 특성은 0.7임을 쉽게 알 수 있습니다.

다음으로 오실로스코프를 이용하여 위상차이를 측정하는 방법입니다.

Sin함수와 같은 정현파는 1 주기의 위상을 \( 2\pi \) 또는 \( 360 ^{\circ} \)로 표현합니다.

위의 관계를 이용하여 비례식을 세우면 시간차 \( {\vartriangle}t \) 를 측정하여 위상차 \( {\vartriangle}\theta \) 를 계산할 수 있습니다.

입력 신호의 주기를 \( T \)라 하면,

$$ T : 2\pi = {\vartriangle}t : {\vartriangle}\theta $$

$$ {\vartriangle}\theta = \frac{2\pi {\vartriangle}t}{T} $$

라디안[rad] 단위로 나타낸 위의 표현을 각도[\( ^{\circ} \)]로 나타내고 싶다면,

$$ {\vartriangle}\theta = \frac{{\vartriangle}t}{T} \times 360^{\circ} $$

으로 나타낼 수 있습니다.

입력한 신호의 주기를 계산하기 번거롭다면 입력한 신호의 주기를 역수를 취해 주파수 \( f \)로 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.

$$ {\vartriangle}\theta = f{\vartriangle}t \times 360^{\circ} $$

위의 예시를 통해서 한 번 확인해보도록 하겠습니다.

사진을 보면 입력 신호의 주파수는 \( 159.159\rm{kHz} \), 입력 신호와 출력 신호의 시간차는 \( {\vartriangle}t = 1.12\mu s \)임을 확인할 수 있습니다.

이를 위에서 구한 공식에 대입하면

$$ {\vartriangle}\theta = f{\vartriangle}t \times 360^{\circ} $$

$$ = 159.159\rm{k} \times 1.12\mu \times 360 = 64.17 ^{\circ} $$

즉, 예시의 위상차는 약 \( 64.17^{\circ} \) 임을 알 수 있습니다.

[2-2] \( w_{-3dB} = 1M \) 일 때의 주파수 크기 및 위상 특성을 구하시오.

먼저, \( w_{-3dB} = 1M \) 일 때의 주파수에 대한 크기 및 위상 특성의 Simulation을 살펴보겠습니다.

주파수에 대한 크기 특성

주파수에 대한 위상 특성

Simulation의 결과를 살펴보면 주파수가 증가함에 따라 크기는 감소하고 위상차는 증가하는 것을 확인할 수 있습니다.

그렇다면 실제 실험도 Simulation의 결과와 같은 결과를 얻을 수 있는지 확인해보도록 하겠습니다.

다음은 주파수를 증가시키면서 측정한 결과입니다.

주파수가 10kHz일 때

주파수가 20kHz 일 때

주파수가 30kHz 일 때

주파수가 130kHz 일 때

주파수가 159.159kHz 일 때

위의 실험의 결과들을 살펴보면 주파수가 낮을 때에는 입력 신호와 출력 신호간의 차이가 거의 없는 것을 알 수 있습니다.

그러나 주파수가 증가함에 따라 출력 신호의 진폭은 작아지고 위상차는 증가하는 Simulation과 일치하는 경향성을 보이는 것을 확인할 수 있습니다.

[2-3] \( w_{-3dB} = 10\rm{k} \) 일 때의 주파수 크기 및 위상 특성을 구하시오.

다음으로 \( w_{-3dB} = 10\rm{k} \) 인 경우를 살펴보겠습니다.

주파수에 대한 크기 특성

주파수에 대한 위상 특성

 

위의 결과를 보면 \( w_{-3dB} = 1M \)일 때와 마찬가지로 주파수가 증가함에 따라 크기는 감소하고 위상차는 증가하는 것을 알 수 있습니다.

이때에도 실제 실험의 결과와 일치하는지 한 번 확인해보도록 하겠습니다.

주파수가 100Hz 일 때

주파수가 1kHz 일 때

주파수가 1.59kHz 일 때

첫 번째 실험의 결과가 많이 흔들렸네요..

그러나 실제 실험의 결과도 주파수가 증가함에 따라 출력 신호의 크기가 감소하고 위상차가 증가하는 것을 관찰하는 무리가 없습니다!(...)

이 역시 앞에서의 실험과 일치하는 경향성을 확인할 수 있습니다.

이번 실험의 전체적인 내용을 다시 한 번 복습하자면, RC 회로를 구현하고 원하는 차단 주파수를 설정할 수 있다는 것입니다.

차단 주파수라 하면 일반적으로 power가 절반만 전달이 되는 주파수, 즉 출력 전압이 입력 전압의 약 0.707배가 될 때의 주파수를 의미합니다.

또한 RC 회로에서 주파수를 증가시킴에 따라 Capacitor에 걸리는 전압을 측정해보면 점점 감소하는 것을 확인할 수 있고, 위상은 점점 지연되는 것을 확인할 수 있습니다.

이는 filter를 구현할 때에 사용되는 Capacitor의 중요한 특성이니 실험을 통해 꼭 확인해보시기 바랍니다!