[전자 회로 실험] #1-(1). RC 회로 설계하기 (RC 필터) 예비 실험

이번 시간에는 RC 회로를 설계해보고 RC 회로의 시간 응답, 주파수 크기 및 위상 응답에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

RC 회로는 이름에서 알 수 있듯이 저항과 Capacitor로 구성되어 있는 회로를 말합니다.

RC 회로는 주로 필터를 제작할 때 많이 이용되는 회로 중 하나로 회로 시간에 배우는 회로 중 기초이면서도 중요한 회로입니다.

이때, 회로의 저항 값 R과 Capacitor의 C 값을 조절하여 회로의 특성을 조절할 수 있기 때문에 소자의 선택도 중요합니다.

RC 회로를 설계하기 전에 RC 회로에 대한 배경 설명을 먼저 하고 설계를 해보도록 하겠습니다.

실험 이론

■ Capacitor

Capacitor는 저항과 Inductor와 더불어 회로 이론을 구성하는 3대 소자 중 하나입니다. 

Capacitor가 이번 실험에서 중요하게 사용될 소자입니다.

Capacitor는 전하를 저장할 수 있는 소자로 충전 또는 방전을 할 수 있으며, 전하를 저장하는 원리는 쿨롱의 법칙에 있습니다.

한 쪽 판에 (+) 전하가 모이게 되면 반대쪽 판에는 (-) 전하가 모이게 됩니다.

오른쪽 사진은 Capacitor의 그림에 대해서 간략하게 표현해 놓은 것입니다.

양 쪽의 판에는 같은 전하량 Q가 모이게 되고 판 사이에는 전기장이 생기게 됩니다.

Capacitor 판 사이의 거리를 \( d \), 판의 넓이를 \( A \)라고 한다면 Capacitor의 특성에 관한 중요한 공식은

Capacitor 판 사이의 거리를 \( d \), 판의 넓이를 \( A \)라고 한다면 Capacitor의 특성에 관한 공식은

$$ Q = CV \tag{1} $$ 

(1)의 식 양변을 대해 시간으로 미분하면 

$$ I = C \frac{dV}{dt}  \quad (\because \frac{dq}{dt} = i) \tag{2}$$

로 나타낼 수 있습니다.

위의 식 (2)로부터 전류는 전압의 미분형이며 반대로 전압은 전류의 적분형이라는 사실을 알았습니다.

이를 통해 Capacitor에 걸리는 전압은 순식간에 변할 수 없고 완만한 곡선을 그리며 변한다는 사실을 말해줍니다.

예를 들면 

전압의 그래프가 위와 같이 순간적으로 변할 수 없다는 뜻입니다.

다시말해 Capacitor에 충전되어 있는 전하가 방전하거나 Capacitor로 전하가 충전되는 과정에서 전압의 그래프가 완만한 곡선을 그린다는 말입니다.

■ RC 회로의 과도 응답 (Transient Response)

앞에서 말했듯이 Capacitor에 걸리는 전압은 곡선을 그리는데 그 곡선이 어떻게 그려지는가에 대해 알아보겠습니다.

RC Circuit

위의 사진은 RC 회로를 간단하게 나타낸 그림입니다.

위의 회로에서 전압에 대한 미분방정식을 세우면

$$ \frac{v_c(t) - \epsilon}{R} + C\frac{v_c(t)}{dt} = 0 $$

로 나타낼 수 있습니다.

이에 대한 미분 방정식을 풀면,

$$ V(t) = \epsilon ( 1 - e^{-\frac{t}{RC}}) $$

로 나타낼 수 있으며, Capacitor에 걸리는 전압은 지수적으로 변한다는 사실을 알 수 있습니다.

■ 시상수 (Time Constant)

 

시상수는 회로를 설계하는데 있어서 굉장히 중요한 개념입니다.

시상수는 회로에 어떤 신호를 인가하였을 때 응답하는데 걸리는 시간을 평가할 때 사용하는 개념입니다.

시상수의 물리적인 의미는 순간적인 변화에 대한 반응을 고려할 때 정상상태의 약 63.2%만큼 변하는데 걸리는 시간입니다.

 

■ 차단 주파수 (Cufoff frequency)

앞서 RC 회로는 필터로 사용하고자 하는 목적으로 설계되기도 한다고 하였습니다.

필터라는 것은 특정한 주파수 대역의 신호만 통과시키고 나머지는 차단 시키는 회로를 말합니다.

다시 말해서 어느 범위의 주파수가 차단이 되는지 그 범위를 정할 필요가 있는데, 그 기준을 나누는 경계값을 차단 주파수라고 합니다.

이상적인(Ideal) 필터 회로에서는 특정 주파수 범위에 대해서는 완벽하게 차단하고, 특정 주파수 범위에 대해서는 완벽하게 통과시키는 필터를 생각할 수 있겠지만, 현실에서는 존재하지 않습니다.

현실에서는 위의 사진과 같이 주파수에 따라서 전달함수의 값이 달라지게 되는데 -3dB이 되는 주파수를 기준으로 합니다.

이유는 전달함수의 Gain이 -3dB이 될 때 출력 에너지는 입력 에너지의 50%가 되며 그보다 작아지면 차단되었다고 말하기 때문입니다.

즉, 에너지는 전압과 전류의 곱이기 때문에 출력 전압은 입력 전압의 \( \frac{1}{\sqrt2} \)배가 되어야 차단 되었다고 말합니다.

RC 회로에서의 전달함수는

$$ H(s)  = \frac{V_o(t)}{V_i(t)} = \frac{\frac{1}{jwC}}{R + \frac{1}{jwC}} = \frac{1}{1 + jwRC}  $$

$$ \left| H(s) \right| = \frac{1}{\sqrt{1 + (wRC)^2}} $$

전달 함수의 값이 \( \frac{1}{\sqrt2} \)배가 되려면 \( w = \frac{1}{RC} \) 가 되어야 합니다.

따라서, RC 회로에서의 차단 주파수 \( w_{-3dB} \) 는

$$ w_{-3dB} = \frac{1}{RC} $$

사전 실험

앞서 설명한 실험에 대한 배경 지식을 가지고 PSpice를 이용하여 이번 실험의 결과값을 예측해보도록 하겠습니다.

1. 위와 같은 RC 회로에 대해 Sin파 입력 \( V_{in}(t) \)이 인가되었을 때, \( w_{-3dB} = 1 \rm{M} \)가 되는 회로의 조건을 구하고, 이에 대한 출력 파형을 구하시오.

 

실험의 배경 지식을 바탕으로 차단 주파수를 문제의 조건에 맞게 설정하기 위하여 저항의 값과 Capacitor의 값을 각각

$$ R = 100[\Omega],  \quad      C = 10n \rm{F} $$

으로 설정하겠습니다.

$$ w_{-3dB} = \frac{1}{100 \times 10 \times 10^{-9}} = 10^6 = 1\rm{M} $$

위의 값을 주파수로 바꿔주면,

$$ f = \frac{1\rm{M}}{2\pi} ≒ 159.154K $$

가 나오는 것을 알 수 있습니다.

이제 계산을 통해서 구한 차단 주파수의 값 159.154K[Hz]이 정말로 맞게 구한 것인지 회로를 설계하여 Simulation을 통해 확인해보도록 하겠습니다.

위의 사진과 같이 회로를 설계하여 Capacitor에 걸리는 전압으로의 전달함수에 대한 크기를 Bode Plot으로 나타내면 아래의 그래프와 같이 나타나게 됩니다.

위의 그래프를 보면 주파수가 159.154K[Hz]에서 약 -3dB의 값을 가지는 것을 확인할 수 있습니다.

또한 159.154K[Hz]인 입력 파형에 대한 출력 파형을 관찰해보면

출력 파형의 최고치는 약 0.707V로 이는 입력 파형의 크기인 1V의 \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)배에 해당하는 값입니다.

계산을 통하여 구한 저항과 Capacitor의 값이 문제의 조건에 맞게 잘 구해졌다는 것을 확인할 수 있습니다. 

이를 통해 저항과 Capacitor의 값을 적절하게 설정한다면 원하는 주파수에서 차단이 되는 필터를 구현할 수 있을 것입니다.

2. \( w_{-3dB} = 1 \rm{M} \)일 때 전달함수 H(s)의 주파수 크기 및 위상 특성을 그리시오.

앞서 배경지식과 1번 문항에서는 RC 필터에서 주파수가 증가함에 따라 출력 값이 작아지는 것을 확인하였습니다.

이제 위상 주파수에 대한 위상 특성을 알아보도록 하겠습니다.

위의 1번 문항의 입력 파형에 대한 출력 파형을 자세히 관찰해보면 위상이 어긋나 있다는 것을 확인할 수 있습니다.

이는 앞서 구한 전달함수의 식인 

$$ H(s)  = \frac{V_o(t)}{V_i(t)} = \frac{\frac{1}{jwC}}{R + \frac{1}{jwC}} = \frac{1}{1 + jwRC}  $$

에서도 확인할 수 있습니다.

위의 전달함수에 대해 위상 특성을 식으로 구해보면

$$ \Phi (t) = -tan^{-1}(w \rm{RC}) $$

로 주파수가 증가함에 따라 지연되는 위상이 커지는 것을 확인할 수 있습니다.

따라서 주파수에 대한 크기와 위상 특성을 그래프로 나타내면 다음과 같습니다.

이제 실험실에서 실험의 결과값이 위의 Simulation과 일치하는지 확인하면 되겠습니다.